Ein lösbares Modell für Symmetrie

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 13768 (2023) Diesen Artikel zitieren

2164 Zugriffe

3 Altmetrisch

Details zu den Metriken

Analytisch lösbare Modelle sind Benchmarks bei der Untersuchung von Phasenübergängen und musterbildenden Bifurkationen. Solche Modelle sind für Phasenübergänge zweiter Art in einheitlichen Medien bekannt, nicht jedoch für lokalisierte Zustände (Solitonen), da integrierbare Gleichungen, die Solitonen erzeugen, keine intrinsischen Übergänge zulassen. Wir stellen ein lösbares Modell für symmetriebrechende Phasenübergänge sowohl der ersten als auch der zweiten Art (alias unter- und überkritische Bifurkationen) für Solitonen vor, die an ein kombiniertes linear-nichtlineares Doppeltopfpotential gebunden sind, dargestellt durch ein symmetrisches Paar von Delta-Funktionen. Es werden sowohl selbstfokussierende als auch defokussierende Anzeichen der Nichtlinearität berücksichtigt. Im ersteren Fall werden exakte Lösungen für symmetrische und asymmetrische Solitonen erzeugt. Die Lösungen demonstrieren explizit einen Wechsel zwischen den symmetriebrechenden Übergängen der ersten und zweiten Art (dh unter- bzw. überkritischen Bifurkationen). Im selbstdefokussierenden Modell demonstriert die Lösung den Übergang der zweiten Art, der die Antisymmetrie des ersten angeregten Zustands durchbricht.

Die Dynamik kollektiver Anregungen in physikalischen Systemen wird durch das Zusammenspiel der zugrunde liegenden Beugung oder Dispersion, nichtlinearer Selbstwechselwirkungen der Felder oder Wellenfunktionen und auf die Felder wirkenden Potentialen bestimmt. In diesem Zusammenhang ist allgemein bekannt, dass der Grundzustand (GS) linearer Systeme die Symmetrie des zugrunde liegenden Potentials reproduziert, während angeregte Zustände andere Darstellungen derselben Symmetrie realisieren können1. Insbesondere ist die Wellenfunktion eines Teilchens, das in einem symmetrischen Doppeltopfpotential (DWP) gefangen ist, gerade, während der erste angeregte Zustand ungerade ist.

Während diese grundlegenden Eigenschaften durch die lineare Schrödinger-Gleichung veranschaulicht werden, wird die Dynamik von Bose-Einstein-Kondensaten (BECs) in Mittelfeldnäherung durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) bestimmt, die Wechselwirkungen zwischen Partikeln berücksichtigt der kubische Term zur Schrödinger-Gleichung für die Einzelteilchenwellenfunktion2,3. Die abstoßenden oder anziehenden Wechselwirkungen werden durch den kubischen Begriff mit dem Zeichen „Selbstdefokussierung“ (SDF) oder „Selbstfokussierung“ (SF) dargestellt. Im Wesentlichen das gleiche Modell ist die berühmte nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLSE), die die Ausbreitung optischer Wellen in nichtlinearen Medien4 regelt und zahlreiche andere Erkenntnisse als universelles Modell zur Regelung des Zusammenspiels der schwachen Beugung oder Dispersion und der kubischen SF-Nichtlinearität5 findet . In der Optik ist ein Gegenstück zum Einfangpotential der Begriff im NLSE, der die durch ein Querprofil des Brechungsindex induzierte Wellenleiterstruktur erklärt.

Die GS-Struktur in Modellen, die die DWP- und SF-Nichtlinearität kombinieren, folgt der Symmetrie des zugrunde liegenden Potentials nur im schwach nichtlinearen Bereich. Ein allgemeiner Effekt, der mit der Erhöhung der SF-Nichtlinearitätsstärke auftritt, ist der symmetriebrechende Phasenübergang, der den GS in Bezug auf zwei Quellen des DWP6 asymmetrisch macht. Dieser Effekt des spontanen Symmetriebruchs (SSB) impliziert unter anderem, dass das allgemein bekannte Prinzip der Quantenmechanik, nach dem GS nicht entartet werden kann1, in den nichtlinearen Modellen nicht mehr gültig ist: Offensichtlich führt das SSB zu einer Entartung Paar aus zwei zueinander symmetrischen GSs, wobei das Maximum der Wellenfunktion an den linken oder rechten Potentialtopf des zugrunde liegenden DWP gebunden ist. Dasselbe System lässt einen symmetrischen Zustand zu, der mit den asymmetrischen Zuständen koexistiert, aber oberhalb des SSB-Punktes stellt es nicht den GS dar, da es gegenüber symmetriebrechenden Störungen instabil ist.

In Systemen mit dem SDF-Vorzeichen der Nichtlinearität bleibt der GS symmetrisch und stabil, während der SSB-Übergang die Antisymmetrie des ersten angeregten Zustands durchbricht (es ist ein räumlich ungerader Zustand mit genau einer Nullstelle der Wellenfunktion im Zentrum). Punkt). Der resultierende Zustand mit der spontan gebrochenen Antisymmetrie behält den Nullpunkt bei, der von der Mitte nach rechts oder links verschoben ist.

Das Konzept des SSB in Systemen des NLSE-Typs mit der SF-Nichtlinearität wurde erstmals 1979 von Davies in abstrakter mathematischer Form vorgeschlagen7. Eine weitere frühe Umsetzung dieses Konzepts wurde 1985 von Eilbeck, Lomdahl und Scott in eingeführt Form des „Self-Trapping-Modells“8. Die letztgenannte Arbeit hatte tatsächlich systematische Studien zu SSB-Phasenübergängen initiiert.

In der Optik wurde der SSB experimentell in einem photorefraktiven Kristall mit sättigbarer SF-Nichtlinearität und einer effektiven DWP-Wellenleiterstruktur beobachtet9. SSB wurde auch für photonische Moden vorhergesagt, die durch ein symmetrisch gestaltetes plasmonisches Metamaterial unterstützt werden10. Für das selbstanziehende BEC, das in eine DWP-Falle geladen wurde, wurde der symmetriebrechende Übergang in Lit. 11,12 ausgearbeitet. In diesem Zusammenhang stellen Tunnelkopplungsschwingungen zwischen Kondensaten, die in zwei durch eine Barriere getrennten Potentialtöpfen eingeschlossen sind, den bosonischen Josephson-Effekt dar13. Experimentell wurde in Lit. 14 über die Selbsteinfangung eines stationären Zustands mit spontan gebrochener Antisymmetrie in einem in DWP beladenen selbstabstoßenden Kondensat sowie über Josephson-Oszillationen in diesem Aufbau berichtet.

Eine Verzweigung des Themas ist SSB in Dual-Core-Systemen, wie z. B. Twin-Core-Glasfasern, wobei die kubische SF-Nichtlinearität in jedem Kern wirkt15. In solchen Systemen führt das Zusammenspiel von SF und linearer Kopplung zwischen parallelen Kernen zum SSB-Übergang vom symmetrischen Zustand zu einem spontan etablierten Zustand mit ungleichen Leistungen, die von den beiden Kernen getragen werden. Diese Art des symmetriebrechenden Phasenübergangs wurde theoretisch eingehend untersucht16,17,18,19,20,21 und kürzlich experimentell in einer Doppelkernfaser demonstriert22. In Bezug auf das jeweilige System linear gekoppelter NLSEs wird der SSB-Übergang durch die Gabelung dargestellt, die symmetrische und asymmetrische Lösungen verbindet23. Abhängig von der Art der Intra-Core-Nichtlinearität und der betrachteten Wellenform (delokalisiert oder selbstgefangen) kann die symmetriebrechende Bifurkation vom überkritischen (alias vorwärts) oder unterkritischen (rückwärts) Typ sein. Die entsprechenden Verzweigungen führen zur Destabilisierung des symmetrischen Zustands und zur Entstehung eines Paares asymmetrischer Zustände am SSB-Punkt, die als stabile bzw. instabile Zweige vorwärts oder rückwärts verlaufen, entsprechend der Variation der SSB-treibenden Nichtlinearitätsstärke. Im letzteren (unterkritischen) Fall kehren die instabilen unteren Zweige der asymmetrischen Zustände an bestimmten Wendepunkten normalerweise in die stabilen, vorwärts gerichteten oberen um (siehe z. B. Abb. 7 unten). Dadurch entstehen stabile asymmetrische Zustände unterkritisch, bei einem Wert der Nichtlinearitätsstärke, der kleiner ist als der am SSB-Punkt. Dementsprechend ist das System im Intervall zwischen den Wende- und SSB-Punkten bistabil, wo der symmetrische und der obere asymmetrische Zustand stabil nebeneinander existieren. In der statistischen Physik werden die über- und unterkritischen Bifurkationen als symmetriebrechende Phasenübergänge zweiter bzw. erster Art identifiziert. Im letzteren Fall entspricht die Bistabilität der Hysterese zwischen GS und unterkühlten bzw. überhitzten Phasen.

Andere Arten optischer SSB-Effekte treten in Dual-Core-Laseraufbauten auf, die die SF-Nichtlinearität mit Verstärkung und Verlust kombinieren. Das theoretische Modell solcher Aufbauten basiert auf einem Paar linear gekoppelter komplexer Ginzburg-Landau-Gleichungen mit der kubisch-quintischen Nichtlinearität24. In Lit. 25 wurde ein spontan etablierter asymmetrischer Betriebsmodus eines symmetrischen Paars gekoppelter Laser beobachtet.

Die SSB-Phänomenologie wurde auch in Modellen mit symmetrischen nichtlinearen Potentialen vorhergesagt, die durch räumliche Modulation des lokalen SF- oder SDF-Koeffizienten26,27 induziert wurden. In optischen Wellenleitern kann die Modulation durch räumlich inhomogene Verteilungen eines resonanten Dotierstoffs erzwungen werden, was zu einer starken lokalen Nichtlinearität führt28. In Experimenten mit BEC kann die Feshbach-Resonanz (FR), die durch räumlich ungleichmäßige Laserbeleuchtung des Kondensats gesteuert wird, verwendet werden, um eine effektive Nichtlinearitätslandschaft aufzubauen29,30,31. Andere für die experimentelle Arbeit mit BEC verfügbare Techniken ermöglichen es, ein notwendiges FR-induziertes nichtlineares Potential durch einen sich schnell bewegenden Laserstrahl32 oder einen räumlichen Lichtmodulator33,34,35 zu „malen“.

Die Verwendung des nichtlinearen Potentials bietet die Möglichkeit, experimentell lösbare SSB-Einstellungen zu entwerfen, die exakte analytische Lösungen für symmetrische, antisymmetrische und asymmetrische Zustände ermöglichen. Die Schlüsselkomponente lösbarer Modelle ist der nichtlineare Term im NLSE mit der Koordinate x, der bei \(x=0\) konzentriert ist und durch die \(\delta\)-Funktion dargestellt wird:

Dieses Modell ist in Bezug auf die Optik formuliert, mit der Entwicklung entlang der Ausbreitungsstrecke z unter der Wirkung des realen Nichtlinearitätskoeffizienten \(\sigma\), skaliert auf \(\sigma =+1\) oder \(-1\) , was dem SF- bzw. SDF-Zeichen der Nichtlinearität entspricht. In diesem Fall stellt der \(\delta\)-Funktionsterm eine schmale eingebettete Schicht eines optischen Materials mit starker kubischer Suszeptibilität dar (z. B. AlGaAs, dessen Suszeptibilität die von Siliciumdioxid um den Faktor \(\simeq 700\)36 übertrifft). im linearen planaren Wellenleiter, vorausgesetzt, dass die Breite der Schicht im Vergleich zu der Breite der sich im Wellenleiter ausbreitenden selbstgefangenen Lichtstrahlen klein ist. Diese Einstellung lässt sich problemlos im Experiment umsetzen, da die typische Breite räumlicher Solitonen in mehreren zehn Mikrometern gemessen wird37. In diesem Fall ist das lineare Einfangpotential \(-\varepsilon \delta (x)\), das in Gl. (1) ist ebenfalls relevant, da der lineare Brechungsindex von Materialien wie AlGaAs viel höher ist als der Hintergrundwert im Wirtsmaterial (Siliciumdioxid). Bezüglich des Vorzeichens der Nichtlinearität ist auch die Betrachtung der SDF-Schicht interessant, da Halbleitermaterialien eine negative nichtlineare Suszeptibilität aufweisen können.

Die gleiche Gl. (1), wobei z durch die Zeit t ersetzt ist, gilt für BEC, wobei das \(\delta\)-Funktionspotential durch den FR-induzierenden Laserstrahl eng fokussiert bei \(x=0\) induziert wird. Derselbe optische Strahl induziert auch das lineare Potential, das durch den Koeffizienten \(\varepsilon\) dargestellt wird. In einem ähnlichen Kontext gilt Gl. (1) mit \(\varepsilon =0\) wurde erstmals in Ref.38 als Modell eines nichtlinearen bosonischen Übergangs vorgestellt. Darüber hinaus entspricht ein Modell des Materiewellen-Solitoneninterferometers mit einem nichtlinearen Solitonenteiler \(\varepsilon <0\) und \(\sigma =-1\) in Gl. (1)39.

Gleichung (1) führt zur genauen Lösung für eine Familie selbstgefangener Zustände (Solitonen), die an das Delta-Funktionspotential gebunden sind:

Dabei ist k eine beliebige Ausbreitungskonstante und die Formfunktion ist

Die selbstgefangenen Modi zeichnen sich durch ihre integrale Kraft aus,

was eine dynamische Invariante von Gl. ist. (1).

Das bekannte Vakhitov-Kolokolov (VK)-Kriterium \(dP/dk>0\)40,41,42,43 impliziert sofort, dass die Lösungsfamilie (3) im Fall der SF-Nichtlinearität \(\ Sigma =+1\), und \(\varepsilon >0\) ist in seinem gesamten Existenzbereich stabil, \(k>\varepsilon ^{2}/2\) (und völlig instabil, wenn das lineare Potential abstoßend ist, mit \(\varepsilon <0\)). Für lokalisierte Zustände, die durch die SDF-Nichtlinearität unterstützt werden, mit \(\sigma =-1\), wird das VK-Stabilitätskriterium durch das Anti-VK-Stabilitätskriterium44, \(dP/dk<0\) ersetzt. Dementsprechend sind in diesem Fall auch die lokalisierten Zustände (3) in ihrem gesamten Existenzbereich stabil, der \(0

Ein Ausnahmefall ist der Fall, der \(\sigma =+1\) (SF) und \(\varepsilon =0\) entspricht (kein lineares Potential), für den Gl. (4) demonstriert die Entartung der lokalisierten Zustände, deren Leistung den einzelnen Wert \(P_{0}=1\) annimmt, der nicht von k abhängt. Diese Eigenschaft impliziert, dass die entsprechende Familie ein spezifisches Beispiel für Townes-Solitonen darstellt (eine allgemein bekannte Familie von Townes-Solitonen wird durch lokalisierte Lösungen zweidimensionaler NLSE mit der räumlich gleichmäßigen kubischen SF-Nichtlinearität erzeugt45). Da Townes-Solitonen mit ihrem Einzelwert der Potenz \(dP/dk=0\) haben, sagt das VK-Kriterium voraus, dass sie einer Grenze zwischen Stabilität und Instabilität entsprechen. Es ist bekannt, dass die Townes-Solitonen tatsächlich einer subexponentiell einsetzenden Instabilität unterliegen, die schließlich zum Beginn des kritischen Kollapses (Entstehen einer lokalen Singularität nach einer endlichen Ausbreitungsstrecke) führt42,43.

Erwähnenswert ist auch der Wert des Hamilton-Operators des fixierten Zustands (3),

[Der Hamilton-Operator ist eine weitere dynamische Invariante von Gl. (1)]. Beachten Sie, dass die Existenzbedingung für Lösung (3), \(\sigma \left( \sqrt{2k}-\varepsilon \right) >0\), \(H_{0}<0\) für \(\varepsilon >0\), daher repräsentiert die lokalisierte Lösung einen echten gebundenen Zustand mit der negativen Energie.

Die Möglichkeit, exakte analytische Lösungen für lokalisierte Zustände zu erstellen, die an das nichtlineare Potential der \(\delta\)-Funktion gebunden sind, legt die Möglichkeit nahe, ein lösbares DWP-Modell zu entwerfen, das auf einem Satz von zwei durch Abstand getrennten \(\delta\)-Funktionen basiert der durch Umskalierung gleich 1 gesetzt werden kann:

Die Gleichung für stationäre Zustände wird durch die Substitution des Ausdrucks (2) in Gleichung erstellt. (6):

Der Hamiltonoperator entsprechend Gl. (6) ist

vgl. Gl. (5). Die physikalische Umsetzung des Modells in Optik und BEC ist unkompliziert: Im ersteren Fall kann man zwei parallele nichtlineare Schichten in den linearen Wellenleiter einbetten, während im ersteren Fall die notwendige Konfiguration durch zwei eng fokussierte FR-induzierende Laserstrahlen erzeugt werden kann .

Ein besonderer Fall von Gl. (6) mit \(\varepsilon =0\) wurde im Kontext von BEC in Ref.46 eingeführt. In dieser Arbeit wurden exakte Lösungen für symmetrische, antisymmetrische und, was am interessantesten ist, asymmetrische stationäre Wellenfunktionen erstellt, die ein ganz besonderes Merkmal demonstrieren, nämlich eine SSB-Verzweigung vom extrem subkritischen Typ, bei der rückwärts gerichtete Zweige instabiler Zustände auftreten Drehen Sie sich niemals nach vorne und werden Sie dementsprechend niemals stabil. Mit anderen Worten handelt es sich um ein einzigartiges Beispiel für den symmetriebrechenden Phasenübergang der ersten Art, der nach dem Übergangspunkt keine stabile Phase mehr erzeugt und zu einer völlig instabilen unterkühlten Phase führt, die durch völlig instabile asymmetrische Zustände dargestellt wird.

Kürzlich wurde in Lit. 47 ein weiteres Beispiel für einen solchen anomalen Phasenübergang bei der Untersuchung von Dual-Core-Kopplern mit SF-Nichtlinearität und fraktionierter Beugung gefunden, dargestellt durch den Operator \(\left( -\partial ^{2}/\partial x^{2}\right) ^{\alpha /2}\), mit Lévy-Index \(\alpha\)48, der in jedem Kern wirkt. In diesem Fall findet die extreme unterkritische SSB-Verzweigung bei \(\alpha =1\) statt, was die Grenze zwischen dem normalen symmetriebrechenden Phasenübergang erster Art bei \(1<\alpha <2\) und ist vollständige Instabilität des Systems, angetrieben durch den überkritischen Kollaps, bei \(\alpha <1\). Das Fractional-Coupler-Modell kann jedoch im Gegensatz zu Gl. nicht analytisch gelöst werden. (7).

Unser Ziel ist es, eine analytische Lösung des vollständigen Modells mit dem kombinierten linear-nichtlinearen \(\delta\)-funktionalen DWP in Gl. zu erstellen. (6). Die linearen Terme werden durch \(\varepsilon >0\) (das anziehende Potential) dargestellt, während sowohl SF- als auch SDF-Vorzeichen der Nichtlinearität, \(\sigma =\pm 1\), behandelt werden. Für \(\sigma =+1\) demonstriert die Lösung explizit den allmählichen Übergang von der extremen unterkritischen zur überkritischen Verzweigung über eine reguläre unterkritische Verzweigung, bei der die rückwärts gerichteten (unteren) Zweige instabiler asymmetrischer Zustände in stabile obere umkehren Abzweigungen an Wendepunkten. Für \(\sigma =-1\) sind die Ergebnisse einfacher und bestätigen die Stabilität des symmetrischen GS und das Auftreten des überkritischen antisymmetriebrechenden Übergangs im ersten angeregten Zustand.

Während der Vorteil des Modells in seiner analytischen Lösbarkeit liegt, werden einige Ergebnisse in numerischer Form unter Verwendung der Gleichungen erzeugt. (6) und (7) mit einer regulierten \(\delta\)-Funktion,

definiert durch eine kleine Breite w (in den meisten Fällen wurde \(w=0,01\) verwendet, was 1/100 des Abstands zwischen den beiden \(\delta\)-Funktionen entspricht). In diesem Zusammenhang ist es wichtig zu erwähnen, dass die Umsetzung des vorliegenden Modells als optischer Wellenleiter impliziert, dass ein charakteristischer Wert des Abstands zwischen den beiden schmalen attraktiven Schichten \(\sim 50\) \({\mathrm {\ mu }}\)m, daher entspricht \(w=0,01\) der Schichtdicke \(\sim 0,5\) \({\mathrm {\mu }}\)m. Angesichts der oben erwähnten Möglichkeit, ein Material zu verwenden, dessen nichtlineare Suszeptibilität die des Volumenwellenleiters um den Faktor \(\sim 700\) übersteigt, wird diese Dicke ausreichen, um die erforderliche Nichtlinearität bereitzustellen. Im Falle der Realisierung in BEC kann eine relevante Größe des Abstands \(\sim 10\) \({\mathrm {\mu }}\)m sein. Dann kann das nahezu deltafunktionale Potential durch einen Laserstrahl induziert werden, der auf einen Punkt der Größe \(\sim\) 0,5 \({\mathrm {\mu }}\)m fokussiert wird, was \(w entspricht \simeq 0,05\), in den skalierten Einheiten.

Der Vergleich mit den numerischen Lösungen ist relevant, um zu überprüfen, wie gut das lösbare Modell ein realistisches Modell mit der endlichen Breite w der Potentialtöpfe darstellt, und auch um Vorhersagen für die Stabilität der symmetrischen, antisymmetrischen und asymmetrischen Solitonen zu testen, die an die \ gebunden sind. (\delta\) -funktionales DWP. Die analytischen und numerischen Ergebnisse werden im nächsten Abschnitt zusammengefasst und im abschließenden Abschnitt diskutiert.

Die Tatsache, dass Gl. (7) linear bei \(x\ne \pm 1/2\) ist, ermöglicht es, offensichtliche Lösungen in diesen Bereichen zu konstruieren, da \(\exp \left( - \sqrt{2k}\left| x+1/ 2\right| \right)\) und \(\exp \left( -\sqrt{2k} \left| x-1/2\right| \right)\) bei \(x<-1/2\) bzw. \(x>+1/2\) und eine Kombination dieser Terme bei \(|x|<1/2\). An den Punkten \(x=\pm 1/2\) entsprechen die Lösungen der Kontinuitätsbedingung für U(x) und der Sprungbedingung für die Ableitung dU/dx,

Die generische Lösung, die diese Bedingungen erfüllt, kann wie folgt gesucht werden

wobei die Amplituden \(U_{1}(k)\) und \(U_{2}(k)\) aus der Substitution von Ansatz (11)–(13) in Gl. ermittelt werden sollten. (10). Für diese stationäre Lösung beträgt der Wert von Hamiltonian (8).

wobei P die Integralleistung ist, definiert gemäß Gl. (4).

Erstens ist es einfach, die exakten Lösungen für symmetrische Zustände im SF-Modell (\(\sigma =+1\)) mit gleichen Amplituden \(U_{1}(k)=U_{2}(k)\ zu finden. äquiv U_{ {\textrm{symm}}}(k)\):

Ein typisches Beispiel eines symmetrischen gebundenen Zustands (Soliton) für \(\varepsilon =2\) und \(k=2,1\) ist in Abb. 1c dargestellt. Dieses Diagramm wird durch die numerische Lösung von Gl. erstellt. (7) und ist praktisch nicht von seinem Gegenstück zu unterscheiden, das sich aus der analytischen Lösung ergibt, wie sie in den Gleichungen (7) bereitgestellt wird. (11)–(13) und (15).

(a–c) Typische Beispiele für antisymmetrische, asymmetrische und symmetrische gebundene Zustände (Solitonen), die durch die numerische Lösung von Gl. erzeugt werden. (7) mit den durch Ausdruck (9) angenäherten \(\delta\)-Funktionen, der SF-Nichtlinearität (\(\sigma =+1\)) und den Parametern \(\varepsilon =2\), \(k= 2.1\). In Tafel (b) sind zwei asymmetrische Zustände dargestellt, die Spiegelbilder voneinander sind. Der antisymmetrische und der symmetrische Zustand sind instabil, während der asymmetrische stabil ist. (d–f) Typische Beispiele für antisymmetrische, gebrochene Antisymmetrie und symmetrische gebundene Zustände für die SDF-Nichtlinearität (\(\sigma =-1\)) und \(\varepsilon =2\), \(k=1\) . In Bild (e) sind zwei Zustände mit gebrochener Antisymmetrie Spiegelbilder voneinander. Der antisymmetrische Zustand ist instabil, während diejenigen mit gebrochener Antisymmetrie und ungebrochener Symmetrie stabil sind.

Weil S, wie durch Gl. (16) immer positiv ist, ist die durch Gl. (15) für \(\sigma =+1\) und \(-1\) existiert für \(E(\varepsilon ,k)>1\) und \(E(\varepsilon ,k)<1\), jeweils. Wie aus Gl. (17) impliziert diese Bedingung, dass im Fall der SF-Nichtlinearität der symmetrische Zustand mit gegebener Ausbreitungskonstante k existiert, wenn die Stärke des linearen \(\delta\)-Funktionspotentials einen Maximalwert nicht überschreitet,

Mit anderen Worten, für gegebenes \(\varepsilon\) existiert der symmetrische Zustand für k, der einen durch Gl. (18) mit < ersetzt durch \(=\), also unterhalb der roten Kurve in Abb. 2a. Insbesondere,

Im SDF-Fall ist der Existenzbereich für die symmetrischen Zustände entgegengesetzt, \(\varepsilon >\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}}}\). Die Existenzgrenze (18) ist durch die rote Kurve in Abb. 2a dargestellt.

(a) Im Modell mit der SF-Nichtlinearität \(\sigma =+1\) existieren die symmetrischen Bindungszustände mit Amplituden (15) unterhalb der Grenze in der Ebene von \(\left( k,\varepsilon \right) \) dargestellt durch die rote Kurve, die durch Gl. (18). Die asymmetrischen Zustände mit den durch Gl. (22) und (23) liegen unterhalb der grünen Grenze, die durch Gl. (24). (b) Im Modell mit der SDF-Nichtlinearität \(\sigma =-1\) existieren die antisymmetrischen gebundenen Zustände mit Amplituden (15) oberhalb der braunen Grenze, die durch Gleichung definiert ist. (18). Die durch die Gleichungen gegebenen Zustände mit gebrochener Antisymmetrie und Amplituden. (39) und (40) existieren oberhalb der blauen Grenze, die durch Gleichung definiert ist. (41).

Die gebundenen Zustände (Solitonen) werden durch die nach Gl. definierte Gesamtleistung charakterisiert. (4). Für die symmetrischen Zustände im Modell mit der SF-Nichtlinearität ist dies der Fall

Da k vom Minimalwert \(\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}} }\) abweicht [siehe Gl. (19)] in Richtung \(k\rightarrow \infty\) wächst die Potenz (20) von 0 auf 2, so dass

Beispiele dieser Abhängigkeit für \(\varepsilon =1\) und 2 sind in Abb. 3 dargestellt. Beachten Sie, dass sie das oben erwähnte VK-Kriterium \(dP/dk>0\) erfüllt.

Die Abhängigkeit der Integralleistung der symmetrisch gebundenen Zustände von der Ausbreitungskonstante im Modell mit dem SF-Vorzeichen der Nichtlinearität, wie durch Gl. (20), für \(\varepsilon =1\) und 2. Wie aus Gl. (21) nähert sich die Leistung mit zunehmendem k langsam dem Grenzwert \(P_{ {\textrm{symm}}}(k=\infty)=2\).

Eine wesentliche Tatsache ist, dass die Substitution von Ansatz (11)–(13) in Gl. (10) liefert auch eine exakte Lösung für asymmetrische Bindungszustände im Modell mit der SF-Nichtlinearität mit den folgenden Amplitudenwerten \(U_{1}\) und \(U_{2}\):

(oder \(U_{1}\rightleftarrows U_{2}\)). Typische Beispiele für stabile asymmetrische Zustände sind in Abb. 1b dargestellt. Sie werden als numerische Lösungen von Gl. erzeugt. (7) und sind von ihren analytisch gefundenen Gegenstücken nicht zu unterscheiden.

Offensichtlich ist die durch Gl. (22) und (23) verzweigen sich von der symmetrischen (15) (mit \(\sigma =+1\)) bei \(E=2\) und existieren bei \(E>2\). Für eine gegebene Ausbreitungskonstante liegt die asymmetrische Lösung vor, wenn \(\varepsilon\) einen entsprechenden Maximalwert nicht überschreitet,

vgl. Gl. (18). Die Grenze (24) ist durch die grüne Kurve in Abb. 2a dargestellt. Für festes \(\varepsilon\) existiert die asymmetrische Lösung im Bereich unterhalb dieser Grenze, und nur der symmetrische Zustand existiert im Streifen zwischen der roten und grünen Kurve in Abb. 2a. Insbesondere gilt \(\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{symm}} }(k\rightarrow 0)=0\, also bei \(\varepsilon =0\) Die symmetrischen Zustände existieren im gesamten Bereich von \(0

In Übereinstimmung mit den allgemeinen Eigenschaften der SSB-Bifurkation23 sind die symmetrischen Zustände nur im Streifen zwischen der roten und grünen Kurve in Abb. 2a stabil und werden durch die SSB-Bifurkation unterhalb der grünen Kurve destabilisiert. Diese Erwartungen werden im Folgenden durch direkte Simulationen der gestörten Entwicklung der in Abb. 12 dargestellten symmetrischen Moden bestätigt.

Der Asymmetriegrad stationärer Zustände wird anhand der jeweiligen Integralleistung definiert:

als

Vollständige analytische Ausdrücke für die Integralpotenz der asymmetrischen Zustände \(P_{{\textrm{asy}}}(k)\) und den jeweiligen Wert von \(\Theta\) sind sehr umständlich. Dennoch lässt sich leicht feststellen, dass k vom Minimalwert \(\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{asy}}}(\varepsilon)\) am SSB-Verzweigungspunkt anwächst , die durch die linke Ungleichung in Gl. bestimmt wird. (24) durch die Gleichheit ersetzt [siehe insbesondere Gl. (25) für \(\varepsilon =0\)] variiert \(P_{{\textrm{asy}}}(k)\) in Richtung \(k\rightarrow \infty\) vom Bifurkationspunktwert,

[mit \(P_{{\textrm{symm}}}(k)\) gegeben durch Gl. (20)] zu

Eigentlich ist Gl. (29) liefert den gleichen Wert wie oben durch Gleichung angegeben. (4) mit \(\sigma =+1\) und \(k\rightarrow \infty\). Aus den obigen Ausdrücken folgt, dass, wenn \(\varepsilon\) von Null in Richtung Unendlich zunimmt, \(P_{{\textrm{bif}}}\) monoton abnimmt

zu \(P_{{\textrm{bif}}}\left( \varepsilon \rightarrow \infty \right) =0\). Insbesondere ist \(P_{{\textrm{bif}}}\left( \varepsilon \right)\) für große \(\varepsilon\) exponentiell klein:

Durch den Vergleich der Grenzwerte (28) und (29) der Integralleistung für die asymmetrischen Zustände lässt sich ein Schwellenwert \(\varepsilon _{{\textrm{thr}}}\) für den Wechsel der SSB-Phase ermitteln Übergang zwischen erster und zweiter Art (d. h. der Wechsel zwischen der unter- und überkritischen SSB-Verzweigung): Der Phasenübergang darf nur für \(P_{{\textrm{bif}}}>\) \( P_{{\textrm{asy}}}(k\rightarrow \infty)\equiv 1\), und es wird der Übergang zweiter Ordnung für \(P_{{\textrm{bif}} }<1\). Die entsprechende Gleichung, \(P_{{\textrm{bif}}}=1\), kombiniert mit Gl. (24), wobei \(\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{ {\textrm{asy}}}\) wie oben gesagt ersetzt wird durch \(\varepsilon =\ left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}}}\), beträgt

wobei \(k_{{\textrm{thr}}}\equiv \left( k_{\min }\right) _{{\textrm{asy}}}\left( \varepsilon =\varepsilon _{{\textrm{ thr}}}\right)\). Numerische Lösung von Gl. (32) erzeugt die einzelne Wurzel \(k_{{\textrm{thr}}}\ approx 0,298\), wobei der entsprechende Schwellenwert von \(\varepsilon\) durch Gl. (24):

Dieses Ergebnis wird durch den Vergleich mit numerisch generierten SSB-Diagrammen in Form von \(\Theta (P)\)-Abhängigkeiten bestätigt, die in Abb. 4 dargestellt sind. In detaillierter Form zeigen die numerischen Daten, dass der Schwellenwert dazu gehört Intervall \(0,07<\varepsilon _{{\textrm{thr}}}<0,08\), während es schwierig ist, \(\varepsilon _{{\textrm{thr}}}\) mit höherer Genauigkeit aus den Daten zu extrahieren .

Beachten Sie, dass enge Intervalle der Variation von P für Zweige der asymmetrischen Zustände in den Feldern (af) von Abb. 4 den hier präsentierten Analyseergebnissen entsprechen [siehe z. B. die Grenzen der Variation von P, die durch Gleichungen gegeben werden. (29) und (30)]; In den Panels (gi) sind die \(\Theta (P)\)-Kurven aus technischen Gründen teilweise abgeschnitten. Der Variationsbereich von P für den Zweig der symmetrischen Zustände mit \(\Theta \equiv 0\) wird hauptsächlich durch den Grenzwert (21) bestimmt. Für \(\varepsilon =0\) zeigt die detaillierte Analyse, die für diesen Fall in Lit. 46 berichtet wird, in Übereinstimmung mit Abb. 4a, dass die größte Potenz der symmetrischen Solitonen \(\left( P_{{\ textrm{symm}}}\right) _{\max }\ca. 2,08\), der bei \(k\ca. 1,40\) erreicht wird.

Der Asymmetrieparameter (27) für die numerisch erzeugten Lösungen von Gl. (7) mit der SF-Nichtlinearität (\(\sigma =+1\)) vs. der Integralleistung (26) bei unterschiedlichen Stärkewerten \(\varepsilon\) des linearen \(\delta\)-Funktionspotentials, die in Tafeln angegeben sind. Der Wechsel zwischen den symmetriebrechenden Phasenübergängen der ersten und zweiten Art, auch unter- und überkritische SSB-Verzweigungen genannt, findet in Übereinstimmung mit dem Analyseergebnis (33) zwischen \(\varepsilon =0,07\) und 0,08 statt.

Die asymmetrischen Solitonen sind im Bereich \(\varepsilon _{ {\textrm{thr}}}<\varepsilon <\left( \varepsilon _{\max }\right) _{{\textrm{asy}} } völlig stabil. \), wie unten in Abb. 13 dargestellt. Bei \(\varepsilon <\varepsilon _{{\textrm{thr}}}\) sind die asymmetrischen Lösungen, die zu den unteren Zweigen in Abb. 13 gehören. 4a–d mit \(d\Theta /dP<0\) sind instabil, während die oberen Zweige mit \(d\Theta /dP>0\) stabil sind. Tatsächlich sind die Instabilitätsintervalle für die asymmetrischen Solitonen sehr eng.

Zusätzlich zu den symmetrischen und asymmetrischen stationären Zuständen gelten die Gl. (6) und (6) mit dem SF-Zeichen der Nichtlinearität, \(\sigma =+1\), führen zu antisymmetrischen, mit \(U(-x)=-U(x)\), siehe an Beispiel in Abb. 1a. Allerdings sind die antisymmetrischen Zustände, ebenso wie im Fall von \(\varepsilon =0\)46, völlig instabil, da sie bei gleichem Wert der Integralpotenz P höheren Werten des Hamiltonoperators (8) entsprechen als der symmetrischen Schranke Zustände. Die Instabilität der antisymmetrischen Zustände wird unten in Abb. 14 veranschaulicht.

Typische Beispiele für antisymmetrische, gebrochene Antisymmetrie- und symmetrische Zustände, die durch Gleichung erzeugt werden. (7) mit der SDF-Nichtlinearität, also \(\sigma =-1\) in Gl. (7) sind in Abb. 1d–f dargestellt. In diesem Fall ist der symmetrische Zustand, gegeben durch Lösung (15) mit \(\sigma =-1\), der, wie oben gesagt, bei \(\varepsilon >\left( \varepsilon _{\max }\right ) _{{\textrm{symm}}}\) [siehe Gl. (18)] ist immer stabil und realisiert den GS des Modells. Dementsprechend unterliegt es nicht der SSB. Interessanter ist der erste angeregte Zustand oberhalb des GS, also der antisymmetrische, gegeben durch Gl. (11)–(13) (mit \(\sigma =-1\))

wobei S und E wie oben gemäß den Gleichungen definiert sind. (16) und (17). Da S immer positiv ist, existiert diese Lösung unter der Bedingung \(E<-1\). Die Ersetzung von Gl. (17) zeigt, dass diese Bedingung erfüllt ist

vgl. Gl. (18). Der antisymmetrische Zustand existiert bei \(\varepsilon >1\) im Bereich der \(\left( \mu ,\varepsilon \right)\)-Ebene über der in Abb. 2b gezeigten braunen Grenze. Weil Gl. (35) ergibt \(\varepsilon \ge 1\) im Limes von \(k\rightarrow 0\), es gibt keine antisymmetrischen Zustände bei \(\varepsilon <1\). Die integrale Kraft des antisymmetrischen Zustands ist

Diese Abhängigkeit ist in Abb. 5 für \(\varepsilon =2\) dargestellt. Beachten Sie, dass Ausdruck (36) mit allen Werten von \(\varepsilon\) das oben erwähnte Anti-VK-Kriterium \(dP/dk<0\) erfüllt, das für die Stabilität gebundener Zustände erforderlich ist, die durch die SDF-Nichtlinearität unterstützt werden44 .

Die Abhängigkeit der Integralleistung der antisymmetrischen Bindungszustände von der Ausbreitungskonstante k, im Fall des SDF-Vorzeichens der Nichtlinearität (\(\sigma =-1\)), wie durch Gl. (36), für \(\varepsilon =4\). Bei \(k\rightarrow 0\) divergiert die Potenz gemäß Gl. (37). Die Potenz verschwindet bei \(k\ungefähr 7,686\), was durch Gl. (35) mit \(\varepsilon =4\).

Mit der Abweichung von k vom größten Wert, \(k_{\max }\), der durch Gl. (35) in Richtung \(k\rightarrow 0\) steigt die Potenz (36) monoton von \(P_{{\textrm{anti}}}(k_{\max })=0\) zu divergierenden Werten wie

bei \(k\rightarrow 0\). Die Divergenz wird dadurch erklärt, dass es im Grenzfall von \(k\rightarrow 0\) einen antisymmetrischen delokalisierten Zustand mit divergenter Potenz gibt,

Der gebundene Zustand mit gebrochener Antisymmetrie ist durch die Gleichungen gegeben. (11)–(13) mit Amplituden

Diese Lösung existiert unter der Bedingung \(E<-2\). Die Substitution des Ausdrucks (17) in der letztgenannten Bedingung führt zu folgendem Existenzbereich für die Lösungen mit gebrochener Antisymmetrie:

vgl. Gl. (35). Dieser Bereich liegt oberhalb der blauen Grenze in Abb. 2b. Weil Gl. (41) ergibt \(\varepsilon \ge 3/2\) im Limes von \(k\rightarrow 0\), es gibt keine Zustände mit gebrochener Antisymmetrie bei \(\varepsilon <3/2\).

In Übereinstimmung mit der Existenz des delokalisierten antisymmetrischen Zustands (38) gibt es auch einen delokalisierten Zustand mit gebrochener Antisymmetrie, nämlich

Das Spiegelbild dieser Lösung ist ebenfalls ein delokalisierter Zustand mit gebrochener Antisymmetrie. Beachten Sie, dass der delokalisierte antisymmetrische Zustand und der mit der gebrochenen Antisymmetrie gemäß Gleichungen existieren. (38) und (43), bei \(\varepsilon >1\) bzw. \(\varepsilon >3/2\), in Übereinstimmung mit dem, was oben für die generischen Lösungen derselben Typen gesagt wurde.

Zum Vergleich ist es wichtig zu erwähnen, dass Gl. (7) mit der SF-Nichtlinearität, \(\sigma =+1\) und \(\varepsilon <1\) führt auch zu einem delokalisierten antisymmetrischen Zustand mit \(k=0\), nämlich,

vgl. Gl. (38). Wie auch alle antisymmetrischen Lösungen von Gl. (6) Mit der SF-Nichtlinearität ist diese Lösung instabil (gegen Modulationsstörungen, vgl. Rev.38), und Gl. (7) mit \(\sigma =+1\) liefert keine Lösungen mit ungebrochener Antisymmetrie.

Numerische Untersuchung der Gl. (6) und (7) mit den nach Gl. angenäherten \(\delta\)-Funktionen. (9) ist für die Überprüfung der oben angegebenen Analyseergebnisse relevant. Da die Breite der linearen und nichtlinearen Potentialtöpfe in realen Systemen endlich ist, liefern die numerischen Ergebnisse auch den Nachweis der Relevanz der analytischen Vorhersagen, die oben unter Verwendung der idealen \(\delta\)-Funktionen gewonnen wurden.

Numerisch gefundene Beispiele für gebundene Zustände vom symmetrischen und antisymmetrischen Typ sowie solchen mit gebrochener Symmetrie und Antisymmetrie im Fall der SF- und SDF-Zeichen der Nichtlinearität sind oben in Abb. 1 dargestellt. In systematischer Weise werden die Entwicklung der durch Gl. erzeugten antisymmetrischen, asymmetrischen und symmetrischen Solitonen. (7) mit \(\sigma =+1\) ist nach der Zunahme der Ausbreitungskonstante k in Abb. 6 zusammengefasst.

Die Entwicklung der Formen antisymmetrischer (a), asymmetrischer (b) und symmetrischer (c) numerisch erzeugter Lösungen von Gl. (7) mit \(\sigma =+1\) und \(\varepsilon =0,5\), der Zunahme von k folgend.

Die wesentlichsten Ergebnisse liegen in Form der SSB-Diagramme für das SF-Modell vor, die die grundlegende analytisch vorhergesagte Eigenschaft des Modells bestätigen, nämlich den Wechsel des Charakters des symmetriebrechenden Phasenübergangs von der ersten zur zweiten Art (in Mit anderen Worten, der Wechsel von der unterkritischen zur überkritischen SSB-Bifurkation am Schwellenpunkt (33) ist oben in Abb. 4 dargestellt. Darüber hinaus ist es wichtig, die Bifurkationsdiagramme in der Ebene von k und darzustellen Asymmetrieparameter \(\Theta\). Diese sind in Abb. 7 für denselben Wertesatz von \(\varepsilon\) wie in Abb. 4 dargestellt. Der Zweig der symmetrischen Zustände beginnt bei \(k=\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}}}\) [siehe Gl. (19)], während der Wert von \(k(\varepsilon)\) am SSB-Verzweigungspunkt durch Gleichung bestimmt wird. (24).

Der Asymmetrieparameter (27) für die numerisch erzeugten Lösungen von Gl. (7) mit \(\sigma =+1\) vs. Ausbreitungskonstante k bei den gleichen Werten von \(\varepsilon\), die in Abb. 4 dargestellt sind.

Darüber hinaus werden die Familien symmetrischer und asymmetrischer Solitonen als physikalische Zustände durch die jeweiligen Abhängigkeiten P(k) und H(P) charakterisiert, wobei H der durch Gleichung definierte Hamilton-Operator ist. (8). Diese Abhängigkeiten sind jeweils in den Abbildungen dargestellt. 8 und 9. In der ersten Abbildung beginnen die Zweige der symmetrischen Zustände bei \(k=\left( k_{\min }\right) _{{\textrm{symm}}}\), siehe Gl. (19). In den Feldern (af) von Abb. 8 variiert P zwischen den Grenzwerten 0 und 2 entlang der symmetrischen Zweige und zwischen \(P_{{\textrm{bif}}}\) [siehe Gl. (28)] und \(P=1\) entlang der asymmetrischen [in den Feldern (gi) ist der Variationsbereich von P aus technischen Gründen abgeschnitten; es ist auch teilweise in Abb. 9f geschnitten]. In Abb. 9i sind die Abhängigkeiten H(P) für den symmetrischen und den asymmetrischen Zustand nicht zu unterscheiden. Beachten Sie auch, dass im letzteren Fall der Wert \(P_{{\textrm{bif}}}\) am SSB-Punkt extrem klein ist, in Übereinstimmung mit Gl. (31). Koordinaten der SSB-Punkte in Abb. 8a und 9a werden durch die Gleichungen korrekt vorhergesagt. (25) und (30).

In dem Bereich, in dem die asymmetrischen Zustände existieren, realisieren sie das Minimum von H, dh den GS des Systems. Ein besonderes Merkmal des Systems besteht darin, dass es bei größeren Werten von P kein echtes GS aufweist, wo nur die instabilen symmetrischen Zustände existieren und es bei \(P>2\) überhaupt keine stationären Zustände gibt.

Die Integralleistung der symmetrischen und asymmetrischen gebundenen Zustände im Fall der SF-Nichtlinearität (\(\sigma =+1\)) vs. der Ausbreitungskonstante für die gleichen Werte von \(\varepsilon\) wie in Abb. 4 und 7.

Der Hamilton-Operator der symmetrischen und asymmetrischen gebundenen Zustände, berechnet nach Gl. (8) mit \(\sigma =+1\), vs. der Integralpotenz P, für die gleichen Werte von \(\varepsilon\) wie in Abb. 4, 7 und 8.

Abhängigkeiten P(k), H(P), \(\Theta (k)\) und \(\theta (P)\) für die Familien antisymmetrischer Solitonen und solche mit gebrochener Antisymmetrie, wie durch die numerische Lösung von erzeugt Gl. (7) mit \(\sigma =-1\) werden einzeln in den Feldern (ac), (df), (gi) und (jl) von Abb. 10 für drei verschiedene Werte der Stärke von gesammelt das lineare \(\delta\)-Funktionspotential, nämlich \(\varepsilon =2,3,\) und 5. Diese Diagrammsätze sind Gegenstücke zu denen für das Modell mit \(\sigma =+1\) die oben in den Abbildungen dargestellt sind. 8, 9, 7 und 4. Insbesondere werden die P(k)-Kurven und SSB-Punkte auf allen in Abb. 10 dargestellten Kurven durch die Gleichungen korrekt vorhergesagt. (36) und (35).

Abhängigkeiten P(k) (a–c), H(P) (d–f), \(\Theta (k)\) (g–i) und \(\theta (P)\) (j–l ) für die Familien antisymmetrischer Solitonen und solche mit gebrochener Antisymmetrie, erzeugt durch die numerische Lösung von Gl. ( 7) mit \(\sigma =-1\), drei verschiedenen Werten von \(\varepsilon\), die in den Tafeln angegeben sind, und der durch Ausdruck (9) angenäherten \(\delta\)-Funktion. Gegenstücke dieser Abhängigkeiten im System mit \(\sigma =+1\) sind oben in den Abbildungen dargestellt. 8, 9, 7 und 4.

Ein offensichtlicher Unterschied zum Fall der SF-Nichtlinearität besteht darin, dass die Verzweigung des spontanen Brechens der Antisymmetrie im SDF-Fall immer überkritisch ist, wie in den Abbildungen zu sehen ist. 10j–l. Mit anderen Worten: Das Modell mit der SDF-Nichtlinearität führt immer zu dem antisymmetriebrechenden Phasenübergang zweiter Art. Es ist auch erwähnenswert, dass die Solitonenzweige sowohl mit ununterbrochener als auch mit gebrochener Antisymmetrie immer das oben erwähnte Anti-VK-Kriterium \(dP/dk<0\) erfüllen, was die notwendige (aber nicht ausreichende) Bedingung für ihre Stabilität ist .

Schließlich wird die Entwicklung der antisymmetrischen, gebrochenen Antisymmetrie- und symmetrischen gebundenen Zustände, die durch Gl. (7) mit \(\sigma =-1\) und \(\varepsilon =2\) nach der Zunahme der Ausbreitungskonstante k ist in Abb. 11 zusammengefasst. Beachten Sie, dass die Entwicklung in Übereinstimmung mit den analytischen Lösungen erfolgt ist entgegengesetzt zu dem im Modell mit der SF-Nichtlinearität (\(\sigma =+1\)), das oben in Abb. 6 dargestellt ist. Die Amplitude und die Integralleistung der Solitonen nehmen nämlich mit dem Wachstum von k zu/ab im SF/SDF-System.

Die Entwicklung der Formen der antisymmetrischen (a), gebrochenen Antisymmetrie (b) und symmetrischen (c) numerisch gefundenen Lösungen von Gl. (7) mit \(\sigma =-1\) und \(\varepsilon =2\), der Zunahme von k folgend.

Es ist wichtig, die erwartete (In-)Stabilität symmetrischer und antisymmetrischer gebundener Zustände sowie solcher mit gebrochener Symmetrie und Antisymmetrie in direkten Simulationen von Gl. zu testen. (6) wobei die ideale \(\delta\)-Funktion durch ihre regulierte Version (9) ersetzt wurde, sowohl für die SF- als auch die SDF-Vorzeichen der Nichtlinearität, d. h. \(\sigma =+1\) und \(-1 \).

Zunächst sammelt Abb. 12 typische Beispiele, die die gestörte Entwicklung stabiler [Panels (a,d,f,h,i)] und instabiler [Panels (b,c,e,g)] symmetrischer Bindungszustände im Modell mit demonstrieren die SF-Nichtlinearität. Diese Ergebnisse sind mit der Vorhersage des Stabilitätsbereichs für die symmetrischen Zustände in Form des Streifens zwischen der unteren und oberen Grenze in Abb. 2a kompatibel. Es wird beobachtet, dass natürlich alle instabilen symmetrischen Zustände Manifestationen der SSB-Instabilität aufweisen, was zur spontanen Bildung asymmetrischer Zustände führt. In einigen Fällen, wie dem in Bild 2f gezeigten, weist der instabile symmetrische Zustand, der sich nahe der Instabilitätsgrenze befindet, auffällige anhaltende Oszillationen auf, während in anderen Fällen die stärkere Instabilität nahezu stationäre Moden mit starker Asymmetrie erzeugt.

Die Entwicklung stabiler und instabiler symmetrischer Bindungszustände im Modell mit der SF-Nichtlinearität, wie durch Simulationen von Gl. (6) mit \(\sigma =+1\) und Parametern \((\varepsilon ,k)=(0.05,0.05)\) (a), (0.05, 0.1) (b), (0.5, 2) ( c), (0,5, 0,3) (d), (0,5, 1) (e), (2, 2) (f), (2, 2,8) (g), (5, 10) (h) und ( 5, 11.7) (i). Die Panels zeichnen Werte von \(\left| \psi (x,z)\right|\) anhand des Farbcodes auf.

Ein weiteres erwartetes Ergebnis, das durch die direkten Simulationen der gestörten Entwicklung bestätigt wird, besteht darin, dass nahezu alle asymmetrischen Solitonen im Fall der SF-Nichtlinearität stabil sind, wie in Abb. 13 für stark asymmetrische Lösungen gezeigt. Instabil sind asymmetrische Solitonen, die zum rückwärts gerichteten (unteren) Zweig in Abb. gehören. 4a–d. Tatsächlich existieren sie nur in einem sehr engen Parameterbereich, und die Entwicklung der Instabilität zieht sie in Richtung eines stabilen Gegenstücks, das beim gleichen Wert von P existiert (hier nicht im Detail gezeigt, da dies ein bekanntes Merkmal der unterkritischen SSB-Verzweigung ist). ).

Die Entwicklung stabiler asymmetrischer Bindungszustände im Modell mit dem SF-Zeichen der Nichtlinearität (\(\sigma =+1\)), wie durch Simulationen von Gl. (6) mit \(\sigma =+1\) und Parametern \((\varepsilon ,k)=(0.05,0.5)\) (a), (0.5, 1) (b), (2, 2.5) ( c), (5, 12) (d).

Zusätzlich zu den obigen Ergebnissen bestätigen die in Abb. 14 dargestellten direkten Simulationen die erwartete Instabilität aller antisymmetrischen gebundenen Zustände im Fall der SF-Nichtlinearität. In den in den Feldern (e) und (f) der Abbildung gezeigten Fällen ist die Instabilität kaum sichtbar, da die Wechselwirkung zwischen zwei Leistungsspitzen der antisymmetrischen Moden sehr schwach ist.

Die Entwicklung instabiler antisymmetrischer gebundener Zustände im Modell mit der SF-Nichtlinearität, wie sie durch Simulationen von Gl. (6) mit \(\sigma =+1\) und Parametern \((\varepsilon ,k)=(0.05,0.05)\) (a), (0.05, 2) (b), (0.5, 0.3) ( c), (0,5, 1) (d), (2, 2) (e), (5, 10) (f).

Schließlich sind in Abb. 15 charakteristische Beispiele für die gestörte Entwicklung der gebundenen Zustände der Typen symmetrisch, antisymmetrisch und gebrochene Antisymmetrie im Modell mit der SDF-Nichtlinearität zusammengestellt. Insbesondere stimmen alle symmetrischen Zustände mit den obigen Vorhersagen überein in diesem Fall stabil, wie in Abb. 15a–c dargestellt. Darüber hinaus zeigen die Felder (d, e) und (f) von Abb. 15 Beispiele für mäßig bzw. schwach instabile antisymmetrische Zustände, in Übereinstimmung mit den in Abb. 2b eingezeichneten Grenzen. Es ist ersichtlich, dass die Instabilität zu einem spontanen Ersatz der entsprechenden Zustände durch oszillierende Zustände mit gebrochener Antisymmetrie führt. Schließlich zeigen die Tafeln (gi) die Stabilität der stationären Zustände mit schwach oder stark gebrochener Antisymmetrie, ebenfalls in Übereinstimmung mit der in Abb. 2b dargestellten Grenze.

(a), (b) und (c): Die Entwicklung stabiler symmetrisch gebundener Zustände im Modell mit dem SDF-Zeichen der Nichtlinearität, wie durch Simulationen von Gl. (6) mit \(\sigma =-1\) und den Parametern \(( \varepsilon ,k)=(2,1.5)\), (2, 2) bzw. (5, 8). (d, e) und (f): Die Entwicklung mäßig und schwach instabiler antisymmetrischer Bindungszustände für \((\varepsilon ,k)=(2,1)\), (2, 1.5) und (5, 8) , jeweils. (g), (h) und (i): Die Entwicklung stabiler gebundener Zustände mit mäßig, schwach und stark gebrochener Antisymmetrie, für \((\varepsilon ,k)=(2,1.5)\), (2.8, 1.8 ) bzw. (5, 8).

Ausgehend vom zweidimensionalen Ising-Gitter49,50 dienen exakt lösbare Modelle als Benchmark für Untersuchungen von Phasenübergängen in verschiedenen physikalischen Umgebungen51,52,53,54,55. Übergänge von einer paramagnetischen zu einer ferromagnetischen Phase in Spinsystemen und ähnlichen Übergängen in vielen anderen Medien hängen untrennbar mit dem spontanen Bruch der Symmetrie der zugrunde liegenden Umgebung zusammen. Es ist bekannt, dass Phasenübergänge in die erste und zweite Art eingeteilt werden. Im ersteren Fall sind Hysterese und Bistabilität in Form der Koexistenz des GS (Grundzustand) mit einer metastabilen unterkühlten oder überhitzten Phase möglich.

Eine ähnliche Phänomenologie zeigen nichtlineare dynamische Systeme in Form von Bifurkationen, dh Übergängen zwischen verschiedenen stabilen Zuständen des Systems, die durch Variation der Steuerparameter des Systems verursacht werden23. Gegenstücke der Phasenübergänge erster und zweiter Art werden als Bifurkationen der unterkritischen und überkritischen Typen in dynamischen Systemen identifiziert. Die unterkritische Bifurkation erzeugt stabile Zustände vor der Destabilisierung des symmetrischen Zustands, daher lässt die Bifurkation dieses Typs Bistabilität und Hysterese zu, wie Phasenübergänge erster Art.

In den meisten Fällen werden Phasenübergänge in der statistischen Physik sowie Bifurkationen in dynamischen Systemen zwischen räumlich einheitlichen Zuständen untersucht. Andererseits sind auch Übergänge zwischen räumlich lokalisierten (selbstgefangenen) Moden wie Solitonen möglich. Die Analyse des letztgenannten Themas kann von der Betrachtung von Modellen profitieren, die exakte Lösungen für symmetriebrechende Übergänge in selbstgefangenen Zuständen zulassen. Die Suche nach lösbaren Modellen ist jedoch eine anspruchsvolle Aufgabe, da grundlegende integrierbare Modelle, die Solitonen erzeugen, wie das eindimensionale NLSE, keine intrinsischen Übergänge in den Solitonen zulassen.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Einführung eines lösbaren nichtlinearen Modells mit dem DWP (Double-Well-Potenzial), das es ermöglicht, exakte Lösungen für lokalisierte Zustände mit vollständigen und gebrochenen Symmetrien zu erzeugen, die durch symmetriebrechende Übergänge beider zunächst verbunden sind und zweite Arten. Mit anderen Worten: Die Zustände mit ununterbrochener und gebrochener Symmetrie können durch Bifurkationen vom unter- und überkritischen Typ verbunden sein. Die Lösbarkeit des vorliegenden Modells ist dadurch möglich, dass die Nichtlinearität durch die symmetrische Menge zweier \(\delta\)-Funktionen dargestellt wird. Ein Prototyp dieses Modells wurde zuvor in Ref. 46 vorgestellt, hatte jedoch ein sehr begrenztes Ergebnis erbracht, nämlich die SSB-Verzweigung (Spontaneous-Symmetry-Breaking) der extremen unterkritischen Form. Diese Gabelung führte zu völlig instabilen asymmetrischen Zuständen, dargestellt durch rückwärts gerichtete Lösungszweige, die sich nie vorwärts drehten. In der vorliegenden Arbeit haben wir das lösbare DWP-Modell eingeführt, das sowohl nichtlineare als auch lineare Potentiale umfasst, die auf dem symmetrischen Paar von \(\delta\)-Funktionen basieren. Das jeweilige nichtlineare Potenzial wird sowohl mit den Vorzeichen SF (Selbstfokussierung) als auch SDF (Selbstdefokussierung) berücksichtigt.

Die analytischen Lösungen, bestätigt durch ihre numerisch gefundenen Gegenstücke (die erstellt wurden, indem die idealen \(\delta\)-Funktionen durch die schmalen Gaußschen Funktionen ersetzt wurden), führen zu dem vollständigen Satz symmetrischer und asymmetrischer Zustände im Modell mit der SF-Nichtlinearität, sowie den gesamten Satz symmetrischer und antisymmetrischer Zustände sowie solche mit gebrochener Antisymmetrie im SDF-Modell. Im Fall der SF-Nichtlinearität ist der wichtigste Aspekt der analytischen Lösung der explizit gefundene Wechsel vom symmetriebrechenden Phasenübergang erster Art in einen der zweiten Art, also der Wechsel des Unterkritischen Verzweigung in das überkritische. Die Umschaltung erfolgt mit der Zunahme der Stärke \(\varepsilon\) des linearen Teils des DWP-Potentials basierend auf dem symmetrischen Paar von \(\delta\)-Funktionen. Ausgehend von der oben erwähnten extremen unterkritischen Bifurkation bei \(\varepsilon =0\) wird analytisch festgestellt, dass der Wechsel an dem durch Gleichungen angegebenen Punkt auftritt. (32) und (33), was durch die numerischen Ergebnisse bestätigt wird. Nach unserem besten Wissen war es mit keinem zuvor untersuchten Modell möglich, die Änderung eines symmetriebrechenden Phasenübergangs zwischen der ersten und zweiten Art (oder die Änderung des unter-/überkritischen Charakters der SSB-Bifurkation) in analytischer Form vorherzusagen .

Die analytische Lösung wird hier auch für das Modell mit der SDF-Nichtlinearität angegeben, wobei die Situation einfacher ist: Der GS wird immer durch den vollständig stabilen symmetrischen lokalisierten Zustand repräsentiert, während der antisymmetriebrechende Phasenübergang zweiter Art (d. h. der überkritische) vorliegt Bifurkation) destabilisiert den niedrigsten angeregten Zustand (einen räumlich ungeraden stationären) am kritischen Punkt, der durch Gl. (41). Diese Analyseergebnisse für das SDF-Modell werden auch durch die numerische Lösung bestätigt.

Die in der vorliegenden Arbeit erarbeiteten lösbaren Modelle bieten Möglichkeiten für analytische Untersuchungen von SSB-Phasenübergängen und -Bifurkationen in komplexeren Umgebungen. Insbesondere könnte es interessant sein, ein Zweikomponentensystem mit dem kombinierten linear-nichtlinearen DWP-Potential zu betrachten. Eine entartete Form des Zweikomponentensystems mit dem rein nichtlinearen SF-Potenzial, basierend auf dem symmetrischen Paar von \(\delta\)-Funktionen, wurde in Ref.56 eingeführt. In diesem Modell umfasst die SF-Nichtlinearität die Selbstinteraktion in jeder Komponente und die Kreuzinteraktion zwischen den Komponenten. Beachten Sie, dass das Zweikomponenten-SF-Modell im Gegensatz zum Einkomponentenmodell einen antisymmetriebrechenden Phasenübergang in räumlich ungeraden lokalisierten Zuständen zulässt und auch den Weg für die Betrachtung des SSB-Übergangs in einem Zustand ebnet, der räumlich symmetrische und räumlich symmetrische Zustände kombiniert antisymmetrische Komponenten.

Eine weitere neue Möglichkeit bietet ein Modell mit drei äquidistanten \(\delta\)-Funktionen auf einem Kreis, anders als der in der vorliegenden Arbeit betrachtete unendliche eindimensionale Bereich (der Kreis mit dem rein nichtlinearen SDF-Potenzial, dargestellt durch eine Symmetrie). Das Paar von \(\delta\)-Funktionen, die an diametral entgegengesetzten Punkten gesetzt sind, wurde in Lit. 57 behandelt. In diesem Fall führte es nicht zu SSB-Übergängen, da die jeweiligen GS immer symmetrisch waren. Für BEC58,59 und mehradrige optische Fasern60,61,62,63,64 wurden verschiedene Aufbauten mit einem Dreieck aus Potentialtöpfen untersucht, die in ein nichtlineares Medium eingebettet sind. In der kreisförmigen Umgebung mit drei \(\delta\)-Funktionsmulden kann man exakte Lösungen mit Vorticity konstruieren und mögliche SSB-Übergänge in ihnen adressieren.

Andererseits kann man als Schritt zur Betrachtung zweidimensionaler Modelle, bei denen eine vollständige Lösbarkeit nicht plausibel ist, einen Satz von zwei parallelen linear gekoppelten eindimensionalen Linien einführen, die jeweils einen DWP tragen, der durch das symmetrische Paar von dargestellt wird die \(\delta\)-Funktionen. Bei all diesen Erweiterungen werden analytische Lösungen eine wesentlich umständlichere Form annehmen als die in der vorliegenden Arbeit behandelte, die Analyse ist jedoch möglicherweise dennoch möglich.

Die Daten, die die Ergebnisse dieser Studie stützen, sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

Landau, D. & Lifshitz, EM Quantum Mechanics (Nauka Publishers, Moskau, 1974).

MATH Google Scholar

Rev. Giorgini, S., Pitaevskii, LP & Stringari, S.. Mod. Physik. Rev. 80, 1215 (2008).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Stoof, HTC, Gubbels, KB & Dickrsheid, DBM Ultracold Quantum Fields (Springer, Dordrecht, 2009).

MATH Google Scholar

Kivshar, YS, & Agrawal, GP Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals (Academic Press: San Diego).

Dauxois, T. & Peyrard, M. Physics of Solitons (Cambridge University Press, Cambridge, 2006).

MATH Google Scholar

Spontane Symmetry Breaking, Self-Trapping, and Josephson Oscillations, hrsg. von BA Malomed (Springer-Verlag: Berlin und Heidelberg, 2013).

Davies, EB Symmetriebrechung in einer nichtlinearen Schrödinger-Gleichung. Komm. Mathematik. Physik. 64, 191–210 (1979).

Artikel ADS Google Scholar

Eilbeck, JC, Lomdahl, PS & Scott, AC Die diskrete Selbsteinfanggleichung. Physica D 16, 318–338 (1985).

Artikel MathSciNet MATH Google Scholar

Kevrekidis, PG, Chen, Z., Malomed, BA, Frantzeskakis, DJ & Weinstein, MI Spontane Symmetriebrechung in photonischen Gittern: Theorie und Experiment. Physik. Lette. A 340, 275–280 (2005).

Artikel CAS MATH ADS Google Scholar

Christ, A., Martin, OJF, Ekinci, Y., Gippius, NA & Tikhodeev, SG Symmetriebruch in einem plasmonischen Metamaterial bei optischer Wellenlänge. Nano Lett. 8, 2171–2175 (2008).

Artikel CAS PubMed ADS Google Scholar

Milburn, GJ, Corney, J., Wright, EM & Walls, DF Quantendynamik eines atomaren Bose-Einstein-Kondensats in einem Doppelmuldenpotential. Physik. Rev. A 55, 4318–4324 (1997).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Smerzi, A., Fantoni, S., Giovanazzi, S. & Shenoy, SR Quantenkohärentes atomares Tunneln zwischen zwei eingeschlossenen Bose-Einstein-Kondensaten. Physik. Rev. Lett. 79, 4950–4953 (1997).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Raghavan, S., Smerzi, A., Fantoni, S. & Shenoy, SR Kohärente Oszillationen zwischen zwei schwach gekoppelten Bose-Einstein-Kondensaten: Josephson-Effekte, \(\pi\)-Oszillationen und makroskopische Quantenselbstfalle. Physik. Rev. A 59, 620–633 (1999).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Albiez, M. et al. Direkte Beobachtung des Tunnelns und der nichtlinearen Selbsteinfangung in einem einzelnen bosonischen Josephson-Kontakt. Physik. Rev. Lett. 95, 010402 (2005).

Artikel PubMed ADS Google Scholar

Jensen, SM Der nichtlineare kohärente Koppler. IEEE J. Quant. Wählen. QE–18, 1580–1583 (1982).

Artikel ADS Google Scholar

Wright, EM, Stegeman, GI & Wabnitz, S. Einzelwellenzerfall und symmetriebrechende Instabilitäten in Zweimodenfasern. Physik. Rev. A 40, 4455–4466 (1989).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Paré, C. & Fłorjańczyk, M. Näheres Modell der Solitonendynamik in rein optischen Kopplern. Physik. Rev. A 41, 6287–6295 (1990).

Artikel PubMed ADS Google Scholar

Maimistov, AI Ausbreitung eines Lichtimpulses in nichtlinearen tunnelgekoppelten optischen Wellenleitern, Kvant. Elektron. 18, 758-761 [Sov. J. Quantenelektron. 21, 687-690 (1991)].

Snyder, AW, Mitchell, DJ, Poladian, L., Rowland, DR & Chen, Y. Physik nichtlinearer Faserkoppler. J. Opt. Soc. Bin. B 8, 2101–2118 (1991).

Artikel ADS Google Scholar

Akhmediev, N. & Ankiewicz, A. Neuartige Solitonenzustände und Bifurkationsphänomene in nichtlinearen Faserkopplern. Physik. Rev. Lett. 70, 2395–2398 (1993).

Artikel MathSciNet CAS PubMed MATH ADS Google Scholar

Malomed, BA, Skinner, I., Chu, PL & Peng, GD Symmetrische und asymmetrische Solitonen in nichtlinearen Doppelkern-Lichtwellenleitern. Physik. Rev. E 53, 4084 (1996).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Nguyen, VH et al. Reversibles ultraschnelles Solitonenschalten in hochgradig nichtlinearen Dual-Core-Lichtwellenleitern. Opt. Lette. 45, 5221–5224 (2020).

Artikel PubMed ADS Google Scholar

Iooss, G. & Joseph, DD Elementary Stability Bifurcation Theory (Springer, New York, 1980).

Buchen Sie MATH Google Scholar

Sigler, A. & Malomed, BA Einzelimpulse in linear gekoppelten kubisch-quintischen Ginzburg-Landau-Gleichungen. Physica D 212, 305–316 (2005).

Artikel MathSciNet MATH ADS Google Scholar

Heil, T., Fischer, I., Elsässer, W., Mulet, J. & Mirasso, CR Chaossynchronisation und spontane Symmetriebrechung in symmetrisch verzögerungsgekoppelten Halbleiterlasern. Physik. Rev. Lett. 86, 795–798 (2000).

Artikel ADS Google Scholar

Hung, NV, Ziń, P., Trippenbach, M. & Malomed, BA Zweidimensionale Solitonen in Medien mit streifenförmiger Nichtlinearitätsmodulation. Physik. Rev. E 82, 046602 (2010).

Artikel MathSciNet ADS Google Scholar

Kartashov, YV, Malomed, BA & Torner, L. Solitonen in nichtlinearen Gittern. Rev. Mod. Physik. 83, 247–306 (2011).

Artikel ADS Google Scholar

Hukriede, J., Runde, JD & Kip, D. Herstellung und Anwendung holographischer Bragg-Gitter in Lithiumniobat-Kanalwellenleitern. J. Phys. D 36, R1 (2003).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Bauer, DM, Lettner, M., Vo, C., Rempe, G. & Dürr, S. Steuerung einer magnetischen Feshbach-Resonanz mit Laserlicht. Naturphysik. 5, 339–342 (2009).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Yamazaki, R., Taie, S., Sugawa, S. & Takahashi, Y. Submikron-räumliche Modulation einer interatomaren Wechselwirkung in einem Bose-Einstein-Kondensat. Physik. Rev. Lett. 105, 050405 (2010).

Artikel PubMed ADS Google Scholar

Clark, LW, Ha, L.-C., Xu, C.-Y. & Chin, C. Quantendynamik mit raumzeitlicher Kontrolle von Wechselwirkungen in einem stabilen Bose-Einstein-Kondensat. Physik. Rev. Lett. 115, 155301 (2015).

Artikel PubMed ADS Google Scholar

Henderson, K., Ryu, C., MacCormick, C. & Boshier, MG Experimentelle Demonstration der Darstellung beliebiger und dynamischer Potentiale für Bose-Einstein-Kondensate. Neue J. Phys. 11, 043030 (2009).

Artikel ADS Google Scholar

Gaunt, AL & Hadzibabic, Z. Robuste digitale Holographie zum Einfangen ultrakalter Atome. Wissenschaft. Rep. 2, 721 (2012).

Artikel PubMed PubMed Central ADS Google Scholar

Nogrette, F. et al. Einfangen einzelner Atome in holografischen 2D-Arrays von Mikrofallen mit beliebigen Geometrien. Physik. Rev. X 4, 021034 (2014).

CAS Google Scholar

Bruce, GD, Bromley, SL, Smirne, G., Torralbo-Campo, L. & Cassettari, D. Holographische Potenzgesetzfallen für die effiziente Produktion von Bose-Einstein-Kondensaten. Physik. Rev. A 84, 053410 (2015).

Artikel ADS Google Scholar

Singer, E., Espinosa, DHG, Vyas, K. & Dolgaleva, K. AlGaAs nichtlineare integrierte Photonik. Mikromaschinen 13, 991 (2022).

Artikel PubMed PubMed Central Google Scholar

Aitchison, JS et al. Räumliche optische Solitonen in planaren Glaswellenleitern. J. Opt. Soc. Bin. B 8, 1290–1297 (1991).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Malomed, BA & Azbel, M. . Ja. . Modulationsinstabilität einer Welle, die an einem nichtlinearen Zentrum gestreut wird. Physik. Rev. B 47, 10402–10406 (1993).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Sakaguchi, H. & Malomed, BA Materiewellen-Solitoneninterferometer basierend auf einem nichtlinearen Splitter. Neue J. Phys. 18, 025020 (2016).

Artikel MATH ADS Google Scholar

Vakhitov, NG & Kolokolov, AA Stationäre Lösungen der Wellengleichung in einem Medium mit Nichtlinearitätssättigung. Radiophys. Quantenelektron. 16, 783–789. https://doi.org/10.1007/BF01031343 (1973).

Artikel ADS Google Scholar

Bergé, L. Wellenkollaps in der Physik: Prinzipien und Anwendungen auf Licht- und Plasmawellen. Physik. Rep. 303, 259–370 (1998).

Artikel MathSciNet ADS Google Scholar

Sulem, C. & Sulem, P.-L. Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung: Selbstfokussierung und Wellenkollaps (Springer, New York, 1999).

MATH Google Scholar

Fibich, G. Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung: Singuläre Lösungen und optischer Kollaps (Springer, Heidelberg, 2015).

Buchen Sie MATH Google Scholar

Sakaguchi, H. & Malomed, BA Solitonen in kombinierten linearen und nichtlinearen Gitterpotentialen. Physik. Rev. A 81, 013624 (2010).

Artikel ADS Google Scholar

Chiao, RY, Garmire, E. & Townes, CH Selbsteinfang optischer Strahlen. Physik. Rev. Lett. 13, 479–482 (1964).

Artikel ADS Google Scholar

Mayteevarunyoo, T., Malomed, BA & Dong, G. Spontane Symmetriebrechung in einer nichtlinearen Doppelmuldenstruktur. Physik. Rev. A 78, 053601 (2008).

Artikel ADS Google Scholar

Strunin, DV, & Malomed, BA Symmetriebrechende Übergänge in ruhenden und sich bewegenden Solitonen in fraktionalen Kopplern. Physik. Rev. E, im Druck.

Mandelbrot, BB Die fraktale Geometrie der Natur (WH Freeman, New York, 1982).

MATH Google Scholar

Brush, SG Geschichte des Lenz-Ising-Modells. Rev. Mod. Physik. 39, 883–893 (1967).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Landau, LD & Lifshitz, EM Statistical Physics, Teil 1 (Nauka Publishers, Moskau, 1975).

Google Scholar

Baxter, RJ Exactly Solved Models in Statistical Mechanics (Academic Press, London, 1982).

MATH Google Scholar

Shopova, DV & Uzunov, DI Einige grundlegende Aspekte von Quantenphasenübergängen. Physik. Rep. 379, 1–67 (2003).

Artikel MathSciNet CAS MATH ADS Google Scholar

Vojta, M. Quantenphasenübergänge. Rep. Prog. Physik. 66, 2069–2110 (2003).

Artikel MathSciNet CAS ADS Google Scholar

Campa, A., Dauxois, T. & Ruffo, S. Statistische Mechanik und Dynamik lösbarer Modelle mit weitreichenden Wechselwirkungen. Physik. Rep. 480, 57–159 (2009).

Artikel MathSciNet CAS ADS Google Scholar

Rosten, OJ Grundlagen der exakten Renormierungsgruppe. Physik. Rep. 511, 177–272 (2012).

Artikel MathSciNet ADS Google Scholar

Acus, A., Malomed, BA & Shnir, Y. Spontane Symmetriebrechung binärer Felder in einer nichtlinearen Doppelmuldenstruktur. Physica D 241, 987–1002 (2012).

Artikel MATH ADS Google Scholar

Zhou, X.-F., Zhang, S.-L., Zhou, Z.-W., Malomed, BA & Pu, H. Bose-Einstein-Kondensation auf einer ringförmigen Falle mit nichtlinearem Doppelmuldenpotential. Physik. Rev. A 85, 023603 (2012).

Artikel ADS Google Scholar

Liu, B., Fu, L.-B., Yang, S.-P. & Liu, J. Josephson Oszillation und Übergang zur Selbstfalle für Bose-Einstein-Kondensate in einer Dreifachfalle. Physik. Rev. A 75, 033601 (2007).

Artikel ADS Google Scholar

Viscondi, TF, Furuya, K. & de Oliveira, MC Phasenübergang, Verschränkung und Quetschung in einem Dreifach-Kondensat. EPL 90, 10014 (2010).

Artikel ADS Google Scholar

Soto-Crespo, JM & Wright, EM Volloptisches Schalten von Solitonen in nichtlinearen Zwei- und Dreikern-Faserkopplern. J. Appl. Physik. 70, 7240–7243 (1991).

Artikel ADS Google Scholar

Akhmediev, NN & Buryak, AV Solitonzustände und Bifurkationsphänomene in nichtlinearen Dreikernfaserkopplern. J. Opt. Soc. Bin. B 11, 804–808 (1994).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Castro, FM, Molina, MI & Deering, WD Steuerung der rein optischen Schaltung in nichtlinearen Mehrkernkopplern. Opt. Komm. 226, 199–204 (2003).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Liu, M. & Chiang, KS Nichtlineares Schalten ultrakurzer Impulse in Mehrkernfasern. IEEE J. Quant. Wählen. 47, 1499–1504 (2011).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Uthayakumar, T., Raja, RVJ & Porsezian, K. Realisierung rein optischer Logikgatter durch dreikernige photonische Kristallfasern. Opt. Komm. 296, 124–131 (2013).

Artikel CAS ADS Google Scholar

Referenzen herunterladen

Die Arbeit von SK und BAM wird teilweise von der Israel Science Foundation durch den Zuschuss Nr. 1695/22 unterstützt.

Abteilung für physikalische Elektronik, Fakultät für Elektrotechnik, Fakultät für Ingenieurwissenschaften und Zentrum für Licht-Materie-Wechselwirkung, Universität Tel Aviv, Tel Aviv, 69978, Israel

Shatrughna Kumar & Boris A. Malomed

Fachbereich Physik, Taiyuan Normal University, Jinzhong, 030619, China

Pengfei Li

Abteilung für Grundkurse, Guangzhou Maritime University, Guangzhou, 510725, China

Liangwei Zeng

Institut für fortgeschrittene Studien, Universität Shenzhen, Shenzhen, Guangdong, China

Jingsong He

High Research Institute, Universität Tarapacá, Box 7D, Arica, Chile

Boris A. Malomed

Sie können diesen Autor auch in PubMed Google Scholar suchen

BAM: Formulierung des Modells, analytische und numerische Berechnungen, Verfassen des Manuskripts; SK: Formulierung des Modells, Entwicklung numerischer Codes, numerische Berechnungen und Verfassen des Manuskripts; PL und LZ: Entwicklung numerischer Codes, numerische Berechnungen und Verfassen des Manuskripts; JH: Formulierung des Modells, numerische Berechnungen und Verfassen des Manuskripts.

Korrespondenz mit Boris A. Malomed.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

Springer Nature bleibt neutral hinsichtlich der Zuständigkeitsansprüche in veröffentlichten Karten und institutionellen Zugehörigkeiten.

Open Access Dieser Artikel ist unter einer Creative Commons Attribution 4.0 International License lizenziert, die die Nutzung, Weitergabe, Anpassung, Verbreitung und Reproduktion in jedem Medium oder Format erlaubt, sofern Sie den/die ursprünglichen Autor(en) und die Quelle angemessen angeben. Geben Sie einen Link zur Creative Commons-Lizenz an und geben Sie an, ob Änderungen vorgenommen wurden. Die Bilder oder anderes Material Dritter in diesem Artikel sind in der Creative-Commons-Lizenz des Artikels enthalten, sofern in der Quellenangabe für das Material nichts anderes angegeben ist. Wenn Material nicht in der Creative-Commons-Lizenz des Artikels enthalten ist und Ihre beabsichtigte Nutzung nicht durch gesetzliche Vorschriften zulässig ist oder über die zulässige Nutzung hinausgeht, müssen Sie die Genehmigung direkt vom Urheberrechtsinhaber einholen. Um eine Kopie dieser Lizenz anzuzeigen, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

Nachdrucke und Genehmigungen

Kumar, S., Li, P., Zeng, L. et al. Ein lösbares Modell für symmetriebrechende Phasenübergänge. Sci Rep 13, 13768 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40704-6

Zitat herunterladen

Eingegangen: 23. Juni 2023

Angenommen: 16. August 2023

Veröffentlicht: 23. August 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40704-6

Jeder, mit dem Sie den folgenden Link teilen, kann diesen Inhalt lesen:

Leider ist für diesen Artikel derzeit kein Link zum Teilen verfügbar.

Bereitgestellt von der Content-Sharing-Initiative Springer Nature SharedIt

Durch das Absenden eines Kommentars erklären Sie sich damit einverstanden, unsere Nutzungsbedingungen und Community-Richtlinien einzuhalten. Wenn Sie etwas als missbräuchlich empfinden oder etwas nicht unseren Bedingungen oder Richtlinien entspricht, kennzeichnen Sie es bitte als unangemessen.